EU-Bürger brauchen an der Grenze keinen Pass zu zeigen.

In einem Satz mit Verneinung kannst du brauchen wie ein Modalverb verwenden. Es bedeutet dann nicht müssen.

EU-Bürger brauchen an der Grenze nicht zu warten.

= EU-Bürger müssen an der Grenze nicht warten.

brauchen + nicht/kein + zu + Infinitiv

Nach brauchen steht das zweite Verb im Infinitiv. Vor dem Infinitiv steht zu.

EU-Bürger brauchen in den meisten EU-Ländern kein Geld zu wechseln.

müssen + nicht/kein + Infinitiv

Nach müssen steht das zweite Verb im Infinitiv. Vor dem Infinitiv steht kein zu.

= EU-Bürger müssen in den meisten EU-Ländern kein Geld wechseln.